Tests d'interprétation

La carte initiale de Shewhart ne comportait que des lignes de contrôle à 3s de la ligne centrale. Une décision est prise au vu de chaque point observé sans tenir compte du passé.
On y a très vite rajouté des lignes de surveillance à 2s mettant en évidence un dérèglement futur potentiel.
Lorsque le suivi de la carte est automatisé, il est possible d'y rajouter toute une batterie de tests permettant de déceler des structures anormales de séries de points mettant en évidence des causes assignables dans le procédé de fabrication. A cette fin, la carte est découpée en 3 zones autour de la ligne centrale:
Zone C: à 1s de la ligne centrale
Zone B: entre 1 et 2s
Zone A: entre 2 et 3s
- 9 points consécutifs dans la zone C du même côté de la ligne centrale: le processus a changé
- 6 points consécutifs croissants ou décroissants: présence d'une dérive
- 14 points consécutifs alternativement vers le haut puis vers le bas: présence de deux causes alternatives systématiques
- 2 ou 3 points consécutifs dans la zone A du même côté de la ligne centrale: annonce d'un prochain dérèglement
- 4 ou 5 points consécutifs dans la zone B du même côté de la ligne centrale: annonce d'un prochain dérèglement
- 15 points consécutifs dans la zone C: plus petite variabilité du procédé
- 8 points consécutifs dans les zones B ou A sans point dans la zone C: distribution bimodale.

Intervalle de prélèvement variable

Les prélèvements effectués dépendent de la proximité du dernier point par rapport aux lignes de contrôle. Plus on se rapproche des lignes de contrôle, plus l'intervalle séparant le prélèvement suivant est réduit. Il en découle une meilleure efficacité de la carte.
(Reynolds and all." Technometrics" 1988)

Taille d'échantillons variable

Ceci peut provenir, soit d'une volonté délibérée de l'opérateur, soit du procédé lui-même.

* Les prélèvements effectués dépendent de la proximité du dernier point par rapport aux lignes de contrôle. Plus on se rapproche des lignes de contrôle, plus la taille de l'échantillon suivant est important. Il en découle une meilleure efficacité de la carte.
(Costa "Journal of Quality Technology" 1994)

* La taille d'échantillon peut être aussi variable à cause du procédé lui-même. Dans ces conditions les limites de contrôle ne sont plus des droites. Il existe 3 manières de procéder:
- Limites de contrôle variables en fonction de la taille d'échantillon. On aura des segments de droite. Perte de simplicité du tracé.
- Taille d'échantillon moyenne. Dans la mesure où la variabilité n'est pas trop importante, on peut calculer les limites de contrôle en fonction de cette taille moyenne. La carte n'est pas exacte, mais retrouve sa simplicité.
- Standardisation des données en divisant par l'écart-type. Les limites de contrôle sont des droites. L'inconvénient est que les valeurs en ordonnée sont exprimées en écart-type.

Petites séries de fabrication

Même si l'on a des petites séries, il est souvent possible de construire une carte de contrôle si l'on retrouve dans les différents lots fabriqués les mêmes caractéristiques à suivre ( épaisseur d'un papier pour des modèles différents, diamètre pour des alésages différents, longueur de vis pour des vis différentes, etc...). La méthode consiste à rendre les limites de contrôle indépendantes de la caractéristique par un changement de variable approprié.
Comme pour les cartes classiques, l'estimation des paramètres doit être faite dans une étude préliminaire sur un ensemble de lots où l'on retrouve l'effet de série que l'on veut piloter.

a) Cartes de contrôle par mesures
- Si la dispersion est constante pour l'ensemble des lots, on retranche à la valeur observée la valeur cible ou nominale. dans ces conditions les limites de contrôle de la carte de la moyenne sont [-3s ; + 3s ].
- Si la dispersion n'est pas constante pour l'ensemble des lots, on standardise les observations en retranchant à la valeur observée la valeur cible ou nominale, puis en divisant par la dispersion du lot.
Carte de l'étendue: pour le lot i on porte sur la carte les points . L'écart-type étant estimé par les limites de contrôle sont
Carte de la moyenne: pour le lot i on porte les points . L'écart-type étant estimé par les limites de contrôle sont
- Carte petites séries (Pillet 91): la méthode consiste pour chaque nouveau point à calculer une moyenne et une étendue (ou un écart-type) à partir de toutes les mesures précédentes. Les limites de contrôle sont variables en fonction du nombre de mesures effectuées.

b) Cartes de contrôle par attributs
Dans ce cas l'estimation de la dispersion est fonction de la moyenne du procédé. On ne peut que standardiser les observations.
 attribut  valeur cible  écart-type  statistique à reporter
       
       
       
       

Processus en parallèle

Lorsqu'on a par exemple k machines en parallèle fabriquant le même produit, il est possible de n'utiliser qu'une seule carte au lieu de k. A chaque prélèvement, on reporte sur la carte deux points: le maximum et le minimum des k observations. On peut donc prendre une décision relativement aux lignes de contrôle sans reporter les k points.

Echantillons de taille unitaire

Ceci peut se produire dans différentes situations: inspection automatique sur chaque produit fabriqué, la production est très lente, plusieurs mesure donneraient une dispersion des instruments et non de la caractéristique suivie (processus chimique en particulier). Il est alors impossible de mesurer la dispersion d'un échantillon de taille 1. Les cartes CUSUM et EWMA sont bien adaptées à ce type de problème.
On peut aussi utiliser une carte
valeurs individuelles / étendue glissante sur n valeurs : pour des dérives rapides
moyenne glissante /étendue glissante sur n valeurs : pour des dérives lentes

Loi non-normale

Les cartes de l'étendue et de l'écart-type nécessitent la normalité des observations.
Pour la carte de la moyenne, il suffit que les observations ne soient pas trop éloignées de la normalité.
Lorsque la distribution est normale, les limites de contrôle sont à plus ou moins 3s de telle sorte que 0,135% des observations sont en dessous de la limite inférieure et 0,135% sont au dessus de la limite supérieure. Lorsque la distribution est non-normale, on construit donc des limites de contrôle telles que 0,135% des observations soient en dessous de la limite inférieure et 0,135% soient au dessus de la limite supérieure. Ceci peut être obtenu directement à partir de l'histogramme. On peut aussi utiliser les courbes de Johnson: après estimation des 4 premiers moments, celles-ci donnent un ajustement des données par l'intermédiaire d'une transformation particulière d'une loi normale; par transformation inverse il est alors possible de déterminer les percentiles recherchés.
Des indices de capabilité dans le cas de lois non-normales peuvent être obtenus suivant le même procédé.

Plusieurs variables

Lorsqu'on surveille simulténément plusieurs variables de qualité liées entre elles, il est possible de construire une carte pour chaque caractéristique. Outre la lourdeur de mise en œuvre de ceci, la méthode ne permet pas de détecter correctement les points provenant de cause assignable.

Le point A se trouve dans les limites de contrôle de chacune des cartes de x1 et x2 prises séparément. Cependant, il est clair que, vu le lien entre ces deux variables, ce point est anormal par rapport à l'ensemble des points observés.
Contrôle des moyennes: Notons m , S , le vecteur moyenne et la matrice des covariances des p variables suivies. Notons le vecteur moyenne observé sur l'échantillon. La statistique reportée sur la carte est . La limite de contrôle supérieure est (il n'y a pas de limite inférieure puisqu'on travaille sur le carré). En général les paramètres sont estimés et la statistique reportée est donc .La limite de contrôle supérieure est basée sur la loi du T² d'Hotelling. Les principaux problèmes rencontrés dans l'utilisation de cette carte résident dans la difficulté de déterminer quelle est la variable qui conduit à un valeur du T² extérieure aux limites d'une part, et à des problèmes d'instabilité du T² d'autre part, lorsqu'il y a beaucoup de variables.
Contrôle de la dispersion: une généralisation de la carte de la variance conduit à reporter la statistique avec une limite de contrôle supérieure égale à
Il est aussi possible d'utiliser la variance généralisée ( Montgomery "Statistical Quality Control", p.330).

Indices de capabilité

Outre C et Ck, on utilise aussi
Cr = 1/C
basé sur la fonction perte de Taguchi qui permet de tenir compte à la fois de la dispersion et du centrage

Capabilité des moyens de mesure

Il est illusoire de vouloir surveiller un procédé de fabrication si les instruments utilisés pour faire les mesures sont eux-mêmes sujets à caution. La méthode R & R (Répétabilité et Reproductibilité) permet de mesurer la capabilité des instruments de mesure.

Définitions:
Résolution: c'est le plus petit différentiel de mesure que l'instrument est capable de détecter.
On choisit en général un instrument qui a une résolution au moins égale au dixième de l'intervalle de tolérance de la spécification contrôlée.
Justesse: l'erreur de justesse est un écart systématique entre la vraie valeur et la valeur donnée par l'instrument.
Répétabilité: l'erreur de répétabilité est la dispersion de mesurage d'une pièce, répétée dans les mêmes conditions, par la même personne, sur une courte période de temps.
Reproductibilité: l'erreur de reproductibilité est la dispersion de mesurage d'une pièce lorsque celle-ci est effectuée par plusieurs personnes, dans les mêmes conditions.

= Dispersion des pièces (PV = Part Variation)
= dispersion de l'instrument de mesure (EV = Equipment Variation) = dispersion de répétabilité
= dispersion des opérateurs (AV = Appraiser Variation) = dispersion de reproductibilité
= Dispersion du moyen de mesure (R&R = Répétabilité & Reproductibilité)
= Dispersion totale (TV = total Variation)


Pour mesurer les quantités suivantes, la norme QS9000 propose de prendre 5,15 écart-types correspondant à 99 % des observations (au lieu de 6 écart-types correspondant à 99,73 % )
EV = Répétabilité = 5,15
AV = Reproductibilité = 5,15

PV = 5,15
TV = dispersion totale =5,15
Capabilité de l'instrument de mesure (du moyen de contrôle) =    ( l'instrument est dit capable si Cmc> 5 )
Pour apprécier les quantités précédentes on utilise aussi des ratios par rapport à l'intervalle de tolérance IT et par rapport à la dispersion totaleTV :
%EV/IT ; %EV/TV ; %AV/IT ; %AV/TV ; %R&R/IT ; %R&R/TV

Evaluation de l'instrument de mesure
%R&R/IT < 10% et %R&R/TV < 10% : instrument bon
%R&R/IT > 30% ou %R&R/TV > 10% : instrument à changer ou à améliorer
Dans les autres cas, l'instrument est acceptable en fonction de l'application, du coût de l'instrument, du coût des réparations...

Essai à réaliser:
Pour déterminer et donc la capabilité de l'instrument de mesure, plusieurs méthodes existent.
Dans tous les cas, on fait mesurer par plusieurs opérateurs (en général 3) dix (ou plus) pièces différentes. Chaque pièce est mesurée 2 fois (ou plus) par chaque opérateur.

1) Méthode de Charbonneau

a) Notations:
n = nombre de pièces mesurées (en général 10)
r = nombre de mesures effectuées sur une pièce par un opérateur (en général 2)
p = nombre d'opérateurs
R = étendue des mesures effectuées sur une pièce par un opérateur
= moyenne des n étendues obtenues par un opérateur
= moyenne des
= moyenne de toutes les mesures (nr) effectuées par un opérateur

b) Répétabilité
 
  
 r = nombre de mesures/pièce/opérateur  2 3 4
 d2  1,128 1,693 2,059

c) Reproductibilité
 
 
 p = nombre d'opérateurs  2 3 4
   1,414 1,912 2,239

d) Répétabilité et reproductibilité
=

2) Méthode Etendue & Moyenne (Range & Average)

Par rapport à la méthode de Charbonneau, seule change l'évaluation de la reproductibilité

Reproductibilité
 
 
 p = nombre d'opérateurs  2 3 4
   1,414 1,912 2,239

Répétabilité et reproductibilité
=

3) Analyse de la Variance

C'est la méthode la plus exacte

a) Notations:
n = nombre de pièces mesurées (en général 10)
r = nombre de mesures effectuées sur une pièce par un opérateur (en général 2)
p = nombre d'opérateurs
= mesure effectuée par le i° opérateur sur la j° pièce à la k° répétition
                   
                          
                    


 Source  Somme des carrés  ddl  Moyenne des carrés
 Pièces  SSB  n-1 MSB=SSB/(n-1) 
 Opérateurs  SSA  p-1 MSA=SSA/(p-1) 
 Interaction  SSAB  (n-1)(p-1) MSAB=SSAB/(n-1)(p-1)
 Résidus  SSE  np(r-1) MSE=SSE/ np(r-1)
 Totale  SST=SSA+SSB+SSAB+SSE  npr-1 MST=SST/ (npr-1 )

L'analyse de la variance permet alors de dissocier les différents effets. Voir par exemple Rao "Linear statistical inference and its applications" (2] édition), p 258-263 a general method fot two-way data and variance components, et p196-197 symmetric normal distribution.

b) Répétabilité

c) Reproductibilité

d) interaction

e) Répétabilité et Reproductibilité

Remarque1: Les sommes des carrés moyens étant des estimations sont sujets aux erreurs d'échantillonnage. dans ces conditions, il se peut que l'on trouve une quantité négative. Dans ce cas la somme des carrés moyens sera prise égale à 0.

Remarque2: Si le test de Fisher révèle une interaction non signficative, alorset